Lokalt maximum hos en andragradsfunktion





Denna webbsida förutsätter kunskaper i matematisk derivering.


Jag börjar denna webbsida med att visa nedanstående graf över en godtyck-
lig andragradsfunktion.

Graf över en andragradsfunktion

Grafen är en parabel vars två skärningar med x-axeln kallas nollställen.
Orsaken är att f(x)=0 i dessa två punkter. f(x) kallas funktionsvärde
och kan också betecknas y. Mellan nollställena finns en topp på grafen.
Just denna topp är ett lokalt maximum för denna funktion.
Helt allmänt kan denna andragradsfunktion beskrivas av följande samband:

f(x) = -ax2 + bx - c

f(x) deriveras med avseende på x:

f(x) = -a*2*x + b*1 - 0  <=>  f(x) = -2ax + b
f(x) = -2a + 0  <=>  f(x) = -2a

f(x) uttalas "f prim x" och f(x) "f biss x".
Om a > 0  =>  f(x) < 0 dvs ett lokalt maximum existerar.

Precis på toppen av grafen är derivatan = noll.
Alltså f(x) = 0  =>
0 = -2ax + b  <=>  2ax = b  <=>  x = b/(2a)
Av detta framgår att både a och b är positiva, om x > 0.
X-et är alltså det lokala maximumets x-värde.

Ett exempel på användning:
Vi vill ha en andragradsfunktion med det högsta värdet 10.000, och alla
konstanterna a,b samt c ska vara med.
Antag a = 4 och b = 600, vilket ger  x = 600/(2*4)  <=>
x = 600/8  <=>  x = 75
Av detta ser nu funktionen ut så här:

f(x) = -4x2 + 600x - c

Men vi vet att det lokala maxvärdet har x = 75 och då ska f(x) = 10000.
Alltså får vi:

10000 = -4*752 + 600*75 - c  <=>   c = -4*752 + 600*75 - 10000
c = -22500 + 45000 - 10000  <=>  c = 12500  =>

f(x) = -4x2 + 600x - 12500

Observera att lämpliga värden måste väljas på konstanterna a och b.


Vi har alltså hittat den sökta andragradsfunktionen.
Men antar verkligen den här funktionen sitt högsta värde på 10000?
Det ska vi ta reda på genom att i ett intervall sätta in ett antal
lämpliga värden på x. Tryck nedan på önskad knapp.